Principes des télécommunications analogiques et numériques

Examen
mai 2001

Question 1

On désire étudier les performances d'un démodulateur AM vis à vis du bruit. Considérons le schéma de démodulation suivant:

Étant donné le signal modulant m(t), le signal modulé est donné par

s(t) = A_c $$\left(\vphantom{ 1+k_{a}\, m(t)}\right.$$1 + k_a m(t)$$\left.\vphantom{ 1+k_{a}\, m(t)}\right)$$cos(2$$\pi$$f_ct)

On supposera que m(t) est la réalisation d'un processus aléatoire stationnaire de moyenne nulle et dont la densité spectrale de puissance $\gamma_{m}^{}$(f ) est limitée à l'intervalle $\left[\vphantom{ -W,+W}\right.$ - W, + W$\left.\vphantom{ -W,+W}\right]$. Sa puissance vaut P_m.

Le signal reçu, composé du signal modulé et d'un bruit blanc additif gaussien n(t) de densité spectrale de puissance N₀/2, est tout d'abord filtré par un filtre passe-bande de bande $\left[\vphantom{ f_{c}-W,f_{c}+W}\right.$f_c - W, f_c + W$\left.\vphantom{ f_{c}-W,f_{c}+W}\right]$. Après pré-filtrage, le signal passe au travers d'un démodulateur synchrone composé d'un mélangeur, d'un filtre passe-bas et d'un suppresseur S de composante continue idéal.

On définit le rapport signal à bruit (noté SNR) en un point d'un système comme le rapport entre la puissance moyenne du signal utile et la puissance du bruit en ce point:

SNR = $${\frac{\textrm{Puissance moyenne du signal utile}}{\textrm{Puissance du bruit}}}$$

les deux puissances étant calculées au même point.

1. Quel est le rôle du premier filtre?

2. Calculez le rapport signal sur bruit (SNR)_IN à l'entrée du démodulateur.

3. Calculez le rapport signal sur bruit (SNR)_OUT à la sortie du démodulateur.

4. Un récepteur est caractérisé par sa figure de mérite définie par

   F = (SNR)_OUT/(SNR)_IN
   Calculez la figure de mérite du récepteur AM étudié plus haut. Sur quel paramètre de la modulation pourriez-vous jouer pour modifier la figure de mérite de ce récepteur?

Question 2

Un important théorème de SHANNON précise qu'il est possible, dans le cas d'un canal additif gaussien, de calculer la capacité C d'un canal exprimée en [b/s] telle que, pour tout débit binaire f_b inférieur à C, la probabilité d'erreur sur bits tende vers 0. Cette capacité vaut

C = B log₂$$\left(\vphantom{ 1+\frac{S}{N}}\right.$$1 + $${\frac{S}{N}}$$$$\left.\vphantom{ 1+\frac{S}{N}}\right)$$

où B est la largeur de bande du canal et S/N le rapport signal à bruit des puissances à l'entrée du récepteur.

1. Exprimez la capacité d'un canal dans le cas d'un récepteur NRZ pour un débit de 1 [kb/s] et un rapport ${\frac{E_{b}}{N_{0}}}$ = 35 [dB].

2. Que vaut le rapport ${\frac{E_{b}}{N_{0}}}$ (en [dB]) lorsque B $\rightarrow$ $\infty$?

3. Citez les noms des 4 couches inférieures du modèle OSI.

Formulaire spécifique:

$${\frac{\log _{a}x}{\log _{a}2}}$$ log₂x =

$${\frac{x^{2}}{2}} {\frac{x^{3}}{3}} \left\vert\vphantom{ x}\right. \left.\vphantom{ x}\right\vert \leq$$ ln(1 + x) =

Question 3

Considérez une modulation en bande de base du type PAM à 4 niveaux de tension. Le schéma du démodulateur utilisé est le suivant

où le filtre h(t) est adapté à l'impulsion de mise en forme $\phi$(t) de durée T et d'amplitude unitaire.

Un bruit blanc gaussien de densité spectrale de puissance égale à N₀/2 est présent à l'entrée du filtre adapté. Le détail de la modulation PAM-4 utilisée est donné dans le tableau suivant

Symbole	Probabilité d'émission	Mise en forme
00	0,25	- $\alpha$V $\phi$(t)
01	0,25	- V $\phi$(t)
10	0,25	+ V $\phi$(t)
11	0,25	+ $\alpha$V $\phi$(t)

et le débit de transmission est égal à (2/T) bits/secondes. Dans un premier temps, on considère $\alpha$ = 2.

1. Dessinez la sortie du filtre adapté pour la séquence d'entrée 011101010011. Différenciez les deux cas où le filtre est implémenté par convolution et par intégration.

2. Étant donné que le symbole 10 a été transmis, déterminez la probabilité de commettre une erreur de décision. Exprimez cette probabilité d'erreur en fonction de T, N₀ et V.

3. Que vaut la probabilité calculée en (2) lorsque $\alpha$ = 10?

4. Commentez le choix des valeurs des amplitudes des symboles (avec $\alpha$ = 2).

Pour rappel,

erfc(u) = $${\frac{1}{\sqrt{\pi }}}$$$$\int^{+\infty }_{u}$$e^-z2dz

Question 4

Dans une transmission radio numérique, on désire assurer une couverture dans un rayon de 50 [km] autour de l'antenne émettrice. Le niveau du champ électrique minimum requis pour avoir une réception de qualité a été fixé à 2 [mV/m]. L'antenne émettrice présente une aire effective de 1,4 [m²] et la fréquence de l'onde porteuse est égale à 100 [MHz].

1. Déterminez la Puissance Isotrope Rayonnée Équivalente (PIRE) nécessaire pour assurer la couverture voulue.

2. Calculez la gain de l'antenne d'émission.

3. Sachant que l'on se donne une marge de 3 [dB] afin de palier aux problèmes de transmission liés aux intempéries fréquentes dans cette région, calculez la puissance de l'émetteur.

4. Calculez la puissance reçue par un récepteur situé à 30 km de l'émetteur et présentant un gain d'antenne de 2 [dB].