4.5.1 Filtrage des processus aléatoires stationnaires au sens large

Soit X(t) un processus aléatoire stationnaire du second ordre, de moyenne $ \mu_{{X}}^{}$, de fonction d'autocorrélation $ \Gamma_{{XX}}^{}$$ \left(\vphantom{\tau}\right.$$ \tau$$ \left.\vphantom{\tau}\right)$ et de densité spectrale de puissance $ \gamma_{{X}}^{}$(f ).

Soit le filtre linéaire de réponse impulsionnelle h(t) et de gain complexe $ \mathcal {H}$(f )

$\displaystyle \mathcal {H}$(f )= $\displaystyle \int_{{-\infty}}^{{+\infty}}$h(t)e-2$\scriptstyle \pi$jftdt (4.128)

En sortie, on a

y(t) = h(t) $\displaystyle \otimes$ x(t) = $\displaystyle \int_{{-\infty}}^{{+\infty}}$h(u)x(t - u)du (4.129)

Il est intéressant de déterminer la moyenne ainsi que la fonction d'autocorrélation du processus aléatoire Y(t). Intéressons-nous tout d'abord à la moyenne.

$\displaystyle \mu_{{Y}}^{}$ = E$\displaystyle \left\{\vphantom{ Y(t)}\right.$Y(t)$\displaystyle \left.\vphantom{ Y(t)}\right\}$ (4.130)
  = E$\displaystyle \left\{\vphantom{ \int_{-\infty}^{+\infty}h(u)X(t-u)du}\right.$$\displaystyle \int_{{-\infty}}^{{+\infty}}$h(u)X(t - u)du$\displaystyle \left.\vphantom{ \int_{-\infty}^{+\infty}h(u)X(t-u)du}\right\}$ (4.131)
  = $\displaystyle \int_{{-\infty}}^{{+\infty}}$h(u)E$\displaystyle \left\{\vphantom{ X(t-u)}\right.$X(t - u)$\displaystyle \left.\vphantom{ X(t-u)}\right\}$du (4.132)
  = $\displaystyle \mu_{{X}}^{}$$\displaystyle \int_{{-\infty}}^{{+\infty}}$h(u)du (4.133)
  = $\displaystyle \mu_{{X}}^{}$$\displaystyle \mathcal {H}$(0) (4.134)

$ \mathcal {H}$(0) est la réponse DC (f = 0) du système. Ce résultat est résumé comme suit:

Proposition 61   Soient X(t) un processus aléatoire stationnaire du second ordre de moyenne $ \mu_{{X}}^{}$, $ \mathcal {H}$(f ) la transmittance d'un filtre linéaire et Y(t) le processus à la sortie du système linéaire

$\displaystyle \mu_{{Y}}^{}$ = $\displaystyle \mu_{{X}}^{}$$\displaystyle \mathcal {H}$(0) (4.135)

Calculons à présent la fonction d'autocorrélation de Y(t) :
$\displaystyle \Gamma_{{YY}}^{}$$\displaystyle \left(\vphantom{t_{1},t_{2}}\right.$t1, t2$\displaystyle \left.\vphantom{t_{1},t_{2}}\right)$ = E$\displaystyle \left\{\vphantom{ Y(t_{1})Y(t_{2})}\right.$Y(t1)Y(t2)$\displaystyle \left.\vphantom{ Y(t_{1})Y(t_{2})}\right\}$ (4.136)
  = E$\displaystyle \left\{\vphantom{ \int_{-\infty}^{+\infty}h(u_{1})X(t_{1}-u_{1})du_{1}\,\int_{-\infty}^{+\infty}h(u_{2})X(t_{2}-u_{2})du_{2}}\right.$$\displaystyle \int_{{-\infty}}^{{+\infty}}$h(u1)X(t1 - u1)du1 $\displaystyle \int_{{-\infty}}^{{+\infty}}$h(u2)X(t2 - u2)du2$\displaystyle \left.\vphantom{ \int_{-\infty}^{+\infty}h(u_{1})X(t_{1}-u_{1})du_{1}\,\int_{-\infty}^{+\infty}h(u_{2})X(t_{2}-u_{2})du_{2}}\right\}$ (4.137)
  = $\displaystyle \int_{{-\infty}}^{{+\infty}}$$\displaystyle \int_{{-\infty}}^{{+\infty}}$h(u1)h(u2E$\displaystyle \left\{\vphantom{ X(t_{1}-u_{1})X(t_{2}-u_{2})}\right.$X(t1 - u1)X(t2 - u2)$\displaystyle \left.\vphantom{ X(t_{1}-u_{1})X(t_{2}-u_{2})}\right\}$du1du2 (4.138)
  = $\displaystyle \int_{{-\infty}}^{{+\infty}}$h(u1)$\displaystyle \int_{{-\infty}}^{{+\infty}}$h(u2$\displaystyle \Gamma_{{XX}}^{}$$\displaystyle \left(\vphantom{t_{1}-u_{1},t_{2}-u_{2}}\right.$t1 - u1, t2 - u2$\displaystyle \left.\vphantom{t_{1}-u_{1},t_{2}-u_{2}}\right)$du1du2 (4.139)

Comme le processus X(t) est stationnaire, en posant $ \tau$ = t1 - t2, la fonction d'autocorrélation du processus de sortie vaut

$\displaystyle \Gamma_{{YY}}^{}$$\displaystyle \left(\vphantom{\tau}\right.$$\displaystyle \tau$$\displaystyle \left.\vphantom{\tau}\right)$ = $\displaystyle \int_{{-\infty}}^{{+\infty}}$$\displaystyle \int_{{-\infty}}^{{+\infty}}$h(u1)h(u2)$\displaystyle \Gamma_{{XX}}^{}$$\displaystyle \left(\vphantom{\tau-u_{1}+u_{2}}\right.$$\displaystyle \tau$ - u1 + u2$\displaystyle \left.\vphantom{\tau-u_{1}+u_{2}}\right)$ du1 du2 (4.140)

Clairement, le processus aléatoire Y(t) est stationnaire au sens large vu que sa moyenne est indépendante du temps et que sa fonction d'autocorrélation ne dépend que de l'intervalle de temps entre les instants d'observation t1 et t2. Il reste maintenant à examiner la densité spectrale de puissance de Y(t).

$\displaystyle \gamma_{{Y}}^{}$(f ) = $\displaystyle \int_{{-\infty}}^{{+\infty}}$$\displaystyle \Gamma_{{YY}}^{}$$\displaystyle \left(\vphantom{\tau}\right.$$\displaystyle \tau$$\displaystyle \left.\vphantom{\tau}\right)$e-2$\scriptstyle \pi$jf$\scriptstyle \tau$d$\displaystyle \tau$ (4.141)
  = $\displaystyle \int$$\displaystyle \int$$\displaystyle \int_{{\mathbb{R}^{3}}}^{}$h(u1)h(u2)$\displaystyle \Gamma_{{XX}}^{}$$\displaystyle \left(\vphantom{\tau-u_{1}+u_{2}}\right.$$\displaystyle \tau$ - u1 + u2$\displaystyle \left.\vphantom{\tau-u_{1}+u_{2}}\right)$e-2$\scriptstyle \pi$jf$\scriptstyle \tau$d$\displaystyle \tau$du1 du2 (4.142)

On réalise ensuite le changement de variable $ \tau$ = u0 + u1 - u2 et finalement il vient

$\displaystyle \gamma_{{Y}}^{}$(f ) = $\displaystyle \mathcal {H}$(f )$\displaystyle \mathcal {H}$*(f )$\displaystyle \gamma_{{X}}^{}$(f ) (4.143)
  = $\displaystyle \left\Vert\vphantom{ \mathcal{H}(f)}\right.$$\displaystyle \mathcal {H}$(f )$\displaystyle \left.\vphantom{ \mathcal{H}(f)}\right\Vert^{{2}}_{}$$\displaystyle \gamma_{{X}}^{}$(f ) (4.144)

Cette dernière relation indique que la densité spectrale de puissance du processus aléatoire Y(t) est égale à la densité spectrale de X(t) multipliée par le module de la fonction de transfert du filtre au carré.

Ce résultat est fourni sous la forme de la proposition suivante.

Proposition 62   [WIENER-KINTCHINE] Soient X(t) un processus stochastique stationnaire au sens large, $ \mathcal {H}$(f ) la transmittance d'un filtre linéaire et Y(t) le processus à la sortie du système linéaire

$\displaystyle \gamma_{{Y}}^{}$(f )= $\displaystyle \left\Vert\vphantom{ \mathcal{H}(f)}\right.$$\displaystyle \mathcal {H}$(f )$\displaystyle \left.\vphantom{ \mathcal{H}(f)}\right\Vert^{{2}}_{}$$\displaystyle \gamma_{{X}}^{}$(f ) (4.145)


Marc Van Droogenbroeck. Tous droits réservés.
2005-03-11