Soit X(t) un processus aléatoire stationnaire du second ordre,
de moyenne , de fonction d'autocorrélation
et de densité spectrale de puissance
(f ).
Soit le filtre linéaire de réponse impulsionnelle h(t) et de gain
complexe
(f )
![]() ![]() ![]() |
(4.128) |
y(t) = h(t) ![]() ![]() |
(4.129) |
Il est intéressant de déterminer la moyenne ainsi que la fonction
d'autocorrélation du processus aléatoire Y(t). Intéressons-nous
tout d'abord à la moyenne.
![]() |
= | E![]() ![]() |
(4.130) |
= | E![]() ![]() ![]() |
(4.131) | |
= | ![]() ![]() ![]() |
(4.132) | |
= | ![]() ![]() |
(4.133) | |
= | ![]() ![]() |
(4.134) |
![]() ![]() ![]() |
(4.135) |
![]() ![]() ![]() |
= | E![]() ![]() |
(4.136) |
= | E![]() ![]() ![]() ![]() |
(4.137) | |
= | ![]() ![]() ![]() ![]() |
(4.138) | |
= | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
(4.139) |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
(4.140) |
Clairement, le processus aléatoire Y(t) est stationnaire au sens
large vu que sa moyenne est indépendante du temps et que sa fonction
d'autocorrélation ne dépend que de l'intervalle de temps entre les
instants d'observation t1 et t2. Il reste maintenant à
examiner la densité spectrale de puissance de Y(t).
![]() |
= | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
(4.141) |
= | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
(4.142) |
On réalise ensuite le changement de variable
= u0 + u1 - u2
et finalement il vient
![]() |
= | ![]() ![]() ![]() |
(4.143) |
= | ![]() ![]() ![]() ![]() |
(4.144) |
Cette dernière relation indique que la densité spectrale de puissance du processus aléatoire Y(t) est égale à la densité spectrale de X(t) multipliée par le module de la fonction de transfert du filtre au carré.
Ce résultat est fourni sous la forme de la proposition suivante.
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
(4.145) |